已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x，a∈R}求A；若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均

题文

已知集合A={x|x²+a≤|a+1|x，a∈R}
（1）求A；
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N^*，均有S_n∈A．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由x²+a≤|a+1|x，a∈R，
得a+1≥0x2-(a+1)x+a≤0或a+1＜0x2+(a+1)x+a≤0
∴a＞1时，1≤x≤a；-1≤a≤1时，a≤x≤1；a＜-1时，-1≤x≤-a
∴a＞1时，A={x|1≤x≤a}；-1≤a≤1时，A={x|a≤x≤1}；a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}
（2）①当a≥1时，A={x|1≤x≤a}，而当n=2时，S₂=a+a²，若S₂∈A，则1≤a+a²≤a，得a2+a-1≥1a2≤0a≥1，此不等式组的解集为空集，故a≥1时，不存在满足条件的实数a；
②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}；而Sn=a+a2+…+an=a1-a(1-an)是关于n的增函数，且limx→∞Sn=a1-a，故Sn∈[a，a1-a)，故对任意的n∈N^*，要使S_n∈A，只需a满足0＜a＜1a1-a≤1，解得0＜a≤12；
③当a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}，显然S₁=a∉A，故不存在满足条件的实数a；
④当a=-1时，A={x|-1≤x≤1}，S_2n-1=-1，S_2n=1，适合；
⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}，S_2n+1=S_2n-1+a_2n+a_2n+1=S_2n-1+a²ⁿ+a²ⁿ⁺¹=S_2n-1+a²ⁿ（1+a）
∵a²ⁿ＞0，1+a＞0，∴a²ⁿ（1+a）＞0，∴S_2n+1＞S_2n-1S_2n+2=S_2n+a_2n+1+a_2n+2=S_2n+a²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺²=S_2n+a²ⁿ⁺¹（1+a）
∵a²ⁿ⁺¹=a²ⁿ•a＜0，1+a＞0，∴a²ⁿ⁺¹（1+a）＜0，∴S_2n+2＜S_2n
又∵S2n+1-S2n=a(1-a2n+1)1-a-a(1-a2n)1-a=a1-a(a2n-a2n+1)=a2n+1(1-a)1-a=a²ⁿ⁺¹＜0
∴S_2n+1＜S_2n
而S₂=S₁+a²＞S₁，
故S₁＜S₃＜S₅＜S₇＜…＜S_2n+1＜…＜S_2n＜S_2n-2＜…＜S₄＜S₂
故对任意的n∈N^*，要使S_n∈A，只需S2∈AS1∈A，即-1＜a＜0a+a2≤1a≥a，解得-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围是{a|0＜a≤12或-1≤a＜0}

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解析

a+1≥0x2-(a+1)x+a≤0

考点

据考高分专家说，试题“已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示

集合的概念：

1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
      元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系： 
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

常用数集及其表示方法： 

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N 
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ 
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z 
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q 
（5）实数集：全体实数的集合.记作R 

集合中元素的特性：

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

易错点:
（1）自然数集包括数0.         
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z