题文
已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，则称S具有性质P．（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．
（Ⅱ）若n=1000时
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立．（2分）
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质P．（3分）
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*
都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1．（4分）
（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．（5分）
首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x0∈T，其中x0∈S，
因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，
从而1≤2001-x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）
由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，
使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m．
对于上述正整数m，
从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1，t2=2001-x2，其中x1，x2∈S，
则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P．（8分）
②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．
任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设S中有t(t≥k2)个元素b1，b2，…，bt不超过1000．
由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，
使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，
所以一定有b1+m，b2+m，…，bt+m∉S．
又bi+m≤1000+1000=2000，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A，
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此k+k2≤k+t≤2000，所以k+k2≤2000，得k≤1333，
当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，
取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，
都有|y1-y2|≠667，即集合S具有性质P，
而此时集合S中有1333个元素．
因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）
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解析
k2考点
据考高分专家说，试题“已知集合A={1，2，3，…，2n}（n.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
