题文
设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”（1）判断函数f(x)=x3+cosx4是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（3）设15是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2，x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）因为f′(x)=13-sinx4，所以f′（x）∈[112，712]，满足条件0＜f′（x）＜1，又因为当x=0时，f（0）-0=1＞0，f（π）-π=-1-π＜0，
所以方程f（x）-x=0有实数根．
所以函数f(x)=x3+cosx4是的集合M中的元素．（3分）
（II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，
与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）-x=0只有一个实数根；（8分）
（III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x2）＜f（x3），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x2）-x2＞f（x3）-x3，
所以0＜f（x3）-f（x2）＜x3-x2，
即|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|，
所以|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|=|x3-x1-（x2-x1）|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2（14分）
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
