设集合A={x|f=x}，B={x|f[f]=x}．设f=x2-x-3，求集合A与B；设f=x2-x+a2（常数

题文

设集合A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设f（x）=x²-x-3，求集合A与B；
（2）设f（x）=x²-（2a-1）x+a²（常数a∈R），求证：A=B．
（3）猜测集合A与B的关系并给予证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）由A={x|f（x）=x}，知集合A的元素就是方程f（x）=x的解．
即f（x）=x⇒x²-x-3=x⇒x=-1或x=3．所以A={-1，3}．
同理，集合B的元素就是方程f[f（x）]=x的解
即（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x⇔（x²-x-3）²-x²=0.(x2-2x-3)(x2-3)=0⇒x=-1 ， x=3 ， x=±3．所以B={ -1 ， 3 ， 3 ， -3 }．
（2）由f（x）=x²-（2a-1）x+a²，
得方程f（x）-x=（x-a）²=0的解为x=a，所以A={a}；
而方程f[f（x）]=x的解是集合B的元素，
即[f（x）]²-f（x）=[f（x）-a]²⇒[（x-a）²+x-a]²+（x-a）²=0．（x-a）²[（x-a+1）²+1]=0⇒x=a，所以B={a}．
故A=B．
（3）若A=∅，显然A⊆B．
若A≠∅，任取x₀∈A，于是f（x₀）=x₀，
则f[f（x₀）]=f（x₀）=x₀，所以x₀∈B，∴A⊆B．

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解析

3

考点

据考高分专家说，试题“设集合A={x|f（x）=x}，B={x.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示

集合的概念：

1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
      元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系： 
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

常用数集及其表示方法： 

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N 
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ 
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z 
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q 
（5）实数集：全体实数的集合.记作R 

集合中元素的特性：

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

易错点:
（1）自然数集包括数0.         
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z