设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．当a∈时，求证：a∉M；当a∈（0，14]

题文

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，14]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（14，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）如果a＜-2，则|a₁|=|a|＞2，a∉M．（2分）
（2）当0＜a≤14时，|an|≤12（∀n≥1）．
事实上，〔i〕当n=1时，|a1|=|a|≤12．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），
则〔ii〕对n=k，|ak|≤|ak-1|2+a≤(12)2+14=12．
由归纳假设，对任意n∈N^*，|a_n|≤12＜2，所以a∈M．（6分）
（3）当a＞14时，a∉M．证明如下：
对于任意n≥1，an＞a＞14，且a_n+1=a_n²+a．
对于任意n≥1，an+1-an=a2n-an+a=(an-12)2+a-14≥a-14，
则an+1-an≥a-14．
所以，an+1-a=an+1-a1≥n(a-14)．
当n＞2-aa-14时，an+1≥n(a-14)+a＞2-a+a=2，
即a_n+1＞2，因此a∉M．（10分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1=a，an+1=a.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示

集合的概念：

1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
      元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系： 
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

常用数集及其表示方法： 

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N 
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ 
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z 
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q 
（5）实数集：全体实数的集合.记作R 

集合中元素的特性：

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

易错点:
（1）自然数集包括数0.         
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z