题文
已知集合
，其中
，由
中的元素构成两个相应的集合：
，
．其中
是有序数对，集合
和
中的元素个数分别为
和
．若对于任意的
，总有
，则称集合
具有性质
．
（I）检验集合
与
是否具有性质
并对其中具有性质
的集合，写出相应的集合
和
；
（II）对任何具有性质
的集合
，证明：
；
（III）判断
和
的大小关系，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）
；
（II）
（III）
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解析
解：集合不具有性质
．
集合
具有性质
，其相应的集合
和
是
，
．
（II）证明：首先，由
中元素构成的有序数对
共有
个．
因为
，所以
；
又因为当
时，
时，
，所以当
时，
．
从而，集合
中元素的个数最多为
，
即
．
（III）解：
，证明如下：
（1）对于
，根据定义，
，
，且
，从而
．
如果
与
是
的不同元素，那么
与
中至少有一个不成立，从而
与
中也至少有一个不成立．
故
与
也是
的不同元素．
可见，
中元素的个数不多于
中元素的个数，即
，
（2）对于
，根据定义，
，
，且
，从而
．如果
与
是
的不同元素，那么
与
中至少有一个不成立，从而
与
中也不至少有一个不成立，
故
与
也是
的不同元素．
可见，
中元素的个数不多于
中元素的个数，即
，
由（1）（2）可知，
．
考点
据考高分专家说，试题“已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
