题文
（本题满分12分）已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三个连续的自然数。如果a，b，c能够作为一个三角形的三边长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A。 题型：未知 难度：其他题型
答案
A=｛4,5,6｝点击查看集合的含义及表示知识点讲解,巩固学习
解析
解法一：依题意，不妨设
，对应的三个内角是
由正弦定理，
…………………………4分
所以
…………………………6分
由余弦定理，
……………8分
即
化简，得：
所以，
不合题意，舍去。
，三角形的三边长为4,5,6. …………………………10分
可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分
故：A=｛4,5,6｝ …………………………12分
解法二：先考虑三角形应满足的第一个性质：三边是连续的自然数
⑴三边长不可能是1,2,3，因为1+2=3而三角形的任何两边之和都大于第三边；
…………………………1分
⑵如果三角形ABC的三边长分别是a=2，b=3，c=4
因为
，
此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是
所以2A≠C从而三边
长分别是a=2，b=3，c=4不符合条件。 …………………………3分
⑶如果三角形ABC的三边长分别是a=3，b=4，c=5，此三角形是直角三角形，最大角是900，最小角不等于450，此三角形不满足条件。 …………………………5分
⑷如果三角形ABC的三边长分别是a=4，b=5，c=6，此时
，
，
因为
，所以2A=C
故三边长分别是a=4，b=5，c=6满足条件。 …………………………8分
⑸当n>4时，三角形ABC的三边长分别是a=n，b=n+1，c=n+2时，三角形的最小角是A，最大角是C，
随n的增大而减小，A随之增大，
随n的增大而增大，C随之减小。由于n=4时有2A=C，所以n>4时不可能有2A=C。 …………………………11分
总上可知，只有边长分别为4,5,6的三角形满足条件，即A=｛4,5,6｝ …………12分
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分12分）已知集合A={a，b，.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
