题文
已知集合
的元素全为实数，且满足：若
，则
。
（1）若
，求出
中其它所有元素；
（2）0是不是集合
中的元素？请你设计一个实数
，再求出
中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）中元素为
（2）
（3）A中的元素为4的倍数
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解析
本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知中若a∈A，则
∈A，将已知条件代入进行递推是解答本题的关键，在（3）的解答中易忽略使
三式均有意义时，对a的限制，而不能得到满分．
（1）由已知中若a∈A，则
∈A，
由a=2∈A，可得
，再由
2∈A，进而得到A中的所有元素；
（2）根据已知中若a∈A，则
∈A，令0∈A，可得-1∈A，根据此时
中分母为0，式子无意义，即可得到结论；
（3）根据已知中若a∈A，则
∈A，结合（1）的结论可得
∈A，而根据（2）的结论，可得要使 三式
,均有意义，应有a≠0，a≠±1
解：(1)由
，则
，又由
，得
,再由
得
，而
，得
，故
中元素为
．… 4分
(2)
不是
的元素．若
，则
，而当
时，
不存在，故0不是
的元素．取
，可得
．……………… 8分
(3) 猜想：①
中没有元素
；②已知A中的一个元素可得其余3个，且每两个互为负倒数．③A中元素个数为4的倍数。………10分
①由上题知：
．若
，则
无解．故
……12分
②设
，则
，
且
．
显然
．若
，则
，得：
无实数解．
同理，
．
故
四个互不相等的数．
故A中的元素为4的倍数……………… 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知集合的元素全为实数，且满足：若，则。.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
