题文
（本小题满分13分）若集合
具有以下性质：①
②若
，则
，且
时，
.则称集合
是“好集”.
（Ⅰ）分别判断集合
，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合
是“好集”，求证：若
，则
；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题
：若
，则必有
；
命题
：若
，且
，则必有
； 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）有理数集
是“好集”. （Ⅱ）
.
（Ⅲ）命题
均为真命题..
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解析
(I)先假设集合
是“好集”.因为
，
，所以
这与
矛盾.这样就确定集合
不是“好集”.有理数Q也采用同样的方法,进行推证.
(II)根据好集的定义
是“好集”，则
，然后再根据x,y的任意性，可证明
.
(III)本小题也是先假设p、q都是真命题，然后根据好集的定义进行推证..
（Ⅰ）集合
不是“好集”. 理由是：假设集合
是“好集”.
因为
，
，所以
. 这与
矛盾.…………2分
有理数集
是“好集”. 因为
，
,对任意的
，有
，且
时，
.所以有理数集
是“好集”. ………………………………4分
（Ⅱ）因为集合
是“好集”，所以
.若
，则
，即
.
所以
，即
. …………………………6分
（Ⅲ）命题
均为真命题. 理由如下： ………………………………………7分
对任意一个“好集”
，任取
， 若
中有0或1时，显然
.
下设
均不为0，1. 由定义可知：
.所以
，即
.
所以
. 由（Ⅱ）可得：
，即
. 同理可得
.
若
或
，则显然
.若
且
，则
.
所以
. 所以
.由（Ⅱ）可得：
.
所以
.综上可知，
，即命题
为真命题.若
，且
，则
.
所以
，即命题
为真命题. ……………………………………13分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）若集合具有以下性质：.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
