设集合Sn={1，2，3，，n），若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”，若X的容量为奇数，则称X为Sn的奇子集

题文

设集合S_n={1，2，3，，n），若X是S_n的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S_n的奇（偶）子集．
（I）写出S₄的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：S_n的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n≥3时，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析

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解析

（I）根据奇子集的定义可直接得出，注意应按规律一一列出以防重写或漏写。（Ⅱ）取S_n的任意一个奇子集

可能含有1也可能不含1，当奇子集

含有1时，令

，当奇子集

不含1时，令

，则

为

的偶子集，且

与

相对应，反之也成立。因为

与

相对应即S_n的奇子集与偶子集个数相等。（Ⅲ）由（Ⅱ）知S_n的奇子集与偶子集个数相等，且S_n中每一个元素在奇子集与偶子集中出现的次数是相同的，所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。
试题解析：（I）


（Ⅱ）对于S_n的每个奇子集

，
当

时，取

；当

时，取

。
则

为

的偶子集。
反之，若

为

的偶子集，
当

时，取

；当

时，取

。
则

为

的奇子集。


的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系，所以

的奇子集和偶子集的个数相等。
（Ⅲ）对于任意

，
当

时，含

的

的子集共有

个。由（Ⅱ）可知，对每个数



，在奇子集与偶子集中，

所占的个数是相等的；
当

时，将（Ⅱ）中的1换成3即可。
可知

在奇子集与偶子集中占的个数是相等。
综合（1）（2），每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等。
所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。

考点

据考高分专家说，试题“设集合Sn={1，2，3，，n），若X是.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示

集合的概念：

1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
      元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系： 
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

常用数集及其表示方法： 

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N 
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ 
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z 
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q 
（5）实数集：全体实数的集合.记作R 

集合中元素的特性：

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

易错点:
（1）自然数集包括数0.         
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z