设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)=x0，则称x0是f(x)的一个不动点，也称f(x)在区间D上有不动点．

题文

设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间，若存在x₀∈D，使f(x₀)=x₀，则称x₀是f(x)的一个不动点，也称f(x)在区间D上有不动点．
（1）证明f(x)=2^x-2x-3在区间（1，4）上有不动点；
（2）若函数f(x)=ax²-x-a+

在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）依题意，“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)= f(x)-x在区间D上有零点”，


在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线，


，
所以，函数F(x)= f(x)-x在区间（1，4）内有零点，
即

在区间（1，4）上有不动点。
（2）依题意，存在x∈[1，4]，使

，
当x=1时，使

；
当x≠1时，解得

，
由

，得x=2或

（

，舍去），


，
所以，当x=2时，

，
所以，常数a的取值范围是

。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设D是函数y=f(x)定义域.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．