已知a是实数，函数f=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

题文

已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：若a=0，则函数f（x）=2x-3在区间 [-1，1]上没有零点，
下面就a≠0时分三种情况讨论：
 （1）方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有重根
此时Δ=4（2a²+6a+1）=0
解得


当

时，f（x）=0的重根x=

；
当

时，f（x）=0的重根

；
故当方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有重根时，

；
（2）f（x）在区间[ -1，1]上只有一个零点且不是f（x）=0的重根
此时有f（-1）f（1）≤0
∵f（-1）=a-5
f（1）=a-1
∴（a-5）（a-1）≤0

1≤a≤5
∵当a=5时，方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两个相异实根，
故当方程f（x）=0在区间[-1，1]上只有一个根且不是重根时，1≤a<5。
（3）方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两相异实根
因为函数


其图象的对称轴方程为


a应满足：


解不等式组（i）得a≥5
解不等式组（ii）得


故当方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两个相异实根时



注意到当1≤a<5时，f（-1）f（1）≤0，方程f（x）=0在区间 [ -1，1]上有根；
当

时，由于

，且


方程f（x）=0在[ -1，1]上有根；
当

时，方程f（x）=0在区间[-1，1]有根
综上所述，函数y=f（x）在区间[ -1，1]上有零点，则a的取值范围是

。

点击查看函数零点的判定定理知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知a是实数，函数f（x）=.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．