已知函数f (x) =x3，g (x)=x+。 求函数h (x)=f (x)-g (x)的零点个数，并说明理由； 设数列{an}满

题文

已知函数f (x) =x³，g (x)=x+

。
（Ⅰ）求函数h (x)=f (x)-g (x)的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=a（a＞0），f(a_n+1)=g(a_n)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a_n≤M。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由

知，

，
而h（0）=0，且

，
则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，
因此h（x）至少有两个零点，


，记

，则

，
当

时，

，因此ψ（x）在（0，+∞）上单调递增，
则ψ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点。
又因为

，
则ψ（x）在内有零点，所以ψ（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点。
记此零点为x₁，则当

时，

；
当

时，

；
所以，当

时，h（x）单调递减，而h（0）=0，则h（x）在

内无零点；
当

时，h（x）单调递增，则h（x）在

内至多只有一个零点；
从而h（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点；
综上所述，h（x）有且只有两个零点。
（Ⅱ）记h（x）的正零点为x₀，即

，
（1）当

时，由

，即

，
而

，因此

，由此猜测：

。
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，

显然成立；
②假设当

时，有

成立，
则当n=k+1时，由

知，

，
因此，当n=k+1时，

成立。
故对任意的n∈N*，

成立。
（2）当

时，由（1）知，h（x）在

上单调递增，则

，
即

。
从而

，即

，由此猜测：

。
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，

显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有

成立，
则当n=k+1时，由

知，

，
因此，当n=k+1时，

成立。
故对任意的n∈N*，

成立。
综上所述，存在常数

，使得对于任意的n∈N*，都有

。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f (x) =x3，g (.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．