已知函数f=log2。求函数y=f的定义域；设g=f+a，若函数y=g在内有且仅有一个零点，

题文

已知函数f（x）=log₂（x-1）。
（Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+a，若函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+

，是否存在正实数m，使得函数y=h（x）在[3，9]内的最小值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=log₂（x-1），
∴x-1＞0，即x＞1，
∴f（x）的定义域为{x|x＞1}；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a=log₂（x-1）+a 在定义城内为增函数，
又y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点， 
∴g（2）·g（3）＜0，
∵g（2）=f（2）+a=a，
g（3）=f（3）+a=1+a，
∴a（a+1）＜0，得-1＜a＜0，
故实数a的取值范围为（-1，0）
（Ⅲ）∵x∈[3，9]，
∴f（x）∈[1，3]，令t=f（x），
则

，
∵


当且仅当

时取等号，
∴当m＞9时，

在t∈[1，3]内为减函数（不要求证明），
∴当t=3时，

取最小值

，
由

=4得m=3＜9，矛盾，舍去；
当1≤m≤9时，


当

时，

取最小值

，
由

得m=4；
当0＜m＜1时，

在t∈（1，3] 内为增函数（不要求证明），
∴当t=1时；

取最小值1+m，
由1+m=4得m=3＞1，矛盾，舍去，
所以存在m=4，使函数y=h（x）在[3，9]内的最小值为4。

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log2（x-1.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．