已知二次函数f=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的公共点，且f=0，当0＜x＜c时，恒有f＞0．当a=，c

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，
且f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=

，c=2时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且

，求a的值；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m²﹣2m+1对所有x∈[0，c]恒成立，求正实数m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当

，c=2时，

，
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
因为f（2）=0，
设另一个根为x₁，则2x₁=6，x₁=3．
则f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，
因f（c）=0，设另一个根为x₂，则

，
于是

．
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

，
则三交点为

，
这三交点为顶点的三角形的面积为

，且

，
解得

．
（3）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

，
所以f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，
要使f（x）≤m²﹣2m+1，对所有x∈[0，c]恒成立，
必须

成立，所有m²﹣2m+1≥1，即m²﹣2m≥0，
解得m≥2或m≤0，而m＞0，
所以m的最小值为2．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．