如图放置的边长为1的正三角形ABC沿x轴的正方向滚动，设顶点A的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f．则f在两个相邻零点间的图象与x轴围成的面

题文

如图放置的边长为1的正三角形ABC沿x轴的正方向滚动，设顶点A（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f（x）．则f（x）在两个相邻零点间的图象与x轴围成的面积是______．

题型：未知 难度：其他题型

答案

由已知中边长为1的正三角形PAB沿 x轴滚动



则滚动二次后，P点的纵坐标和起始位置一样第三次滚动时以点P为圆心，故点P不动，
故函数y=f（x）是以3为周期的周期函数，即T=3
两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积如下图所示：
由图可知，其两个零点之间所围成的面积为以1为半径的2个13圆再加上一个边长为1的正三角形的面积，
故其面积是2π3+34，即S=2π3+34，
故答案为 2π3+34．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“如图放置的边长为1的正三角形ABC沿x轴.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．