已知函数f的定义域为[0，+∞），且f=f=1，f'为f的导函数，函数y=f'的图象如图所示．则：f的单调递减区

题文

已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），且f（4）=f（1）=1，f'（x）为f（x）的导函数，函数y=f'（x）的图象如图所示．则：
（1）f（x）的单调递减区间为 ______；
（2）点（a，b）所在平面区域a≥0b≥0f(a+b)＜1所围成的面积是 ______．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由函数y=f'（x）的图象：



当 x∈（0，2）时，f'（x）＜0
故f（x）的单调递减区间为（0，2）
（2）∵a≥0b≥0f(a+b)＜1?a≥0b≥01＜a+b＜4，
其对应的平面区域如下图所示：



所围成的面积是152
故答案为：（0，2），152

点击查看函数零点的判定定理知识点讲解,巩固学习

解析

a≥0b≥0f(a+b)＜1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．