已知(x2-15x3)51的展开式中的常数项为T，f是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f=x，若在区间[-1，3]内，函数g=f（x

题文

已知(x2-15x3)51的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵(x2-15x3)5的常数项为C25×15=2
∴f（x）是以2为周期的偶函数
∵区间[-1，3]是两个周期
∴区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k有四个交点
当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意
当k≠0时，∵r（-1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤14
故答案为：(0，14]

点击查看函数零点的判定定理知识点讲解,巩固学习

解析

15x3

考点

据考高分专家说，试题“已知(x2-15x3)51的展开式中的常.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．