已知函数f=lnx，g=12ax2+bx．当a=-2时，函数h=f-g在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

题文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=12ax2+bx（a≠0）．
（1）当a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e^2x-be^x（e为自然对数的底数），x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）两点，且线段AB的中点为C（x₀，0），求证：V′（x₀）≠0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当=-2时，h（x）=f（x）-g（x），所以h（x）=lnx+x²-bx，其定义域为（0，+∞），
因为函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，所以h'（x）≥0恒成立，即h′(x)=1x+2x-b≥0恒成立，
所以b≤1x+2x，当x＞0时，1x+2x≥22，当且仅当x=22时取等号，所以b≤22，所以b的取值范围(-∞，22]．
（2）设t=e^x，则函数φ（x）=e^2x-be^x等价为ω（t）=t²+bt，t∈[1，2]，
则ω(t)=t2+bt=(t+b2)2-b24，且b∈(-∞，22]，
所以①当b2≤1，即-2≤b≤22时，函数ω（t）=t²+bt，在t∈[1，2]，上为增函数，所以当t=1时，ω（t）的最小值为b+1．
②当1＜-b2＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-b2时，ω（t）的最小值为-b24．
③当-b2≥2，即b≤-4时，函数ω（t）=t²+bt，在t∈[1，2]上为减函数，所以当t=2时，ω（t）的最小值为4+2b．
综上：当-2≤b≤22时，φ（x）的最小值为b+1．
当-4＜b＜-2时，φ（x）的最小值为-b24．
当b≤-4时，φ（x）的最小值为4+2b．
（3）因为V（x）=2f（x）-x²-kx=2lnx-x2-kx，V′(x)=2x-2x-k，
假设V′（x₀）=0，成立，且0＜x₁＜x₂，则由题意知，
2lnx1-x21-kx1=0  ①2lnx2-x22-kx2=0 ② x1+x2=2x0   ③2x0-2x0-k=0  (4)，
①-②得2lnx1x2-(x21-x22)-k(x1-x2)=0，
所以k=2lnx1x2x1-x2-2x0，由（4）得k=2x0-2x0，所以lnx1x2x1-x2=1x0，
即lnx1x2x1-x2=2x1+x2，即lnx1x2=2×x1x2-2x1x2+1  ⑤
令t=x1x2，则u(t)=lnt-2t-2t+1，(0＜t＜1)，所以u′(t)=(t-1)2(t+1)2＞0，(0＜t＜1)，
所以u（t）在（0，1）上为单调递增函数，所以u（t）＜u（1）=0，
即lnt＜2t-2t+1，即lnx1x2＜2×x1x2-2x1x2+1，
这与⑤式相矛盾，所以假设不成立，故V′（x₀）≠0．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=12.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．