已知函数f=x2+2ax．求函数f的单调区间；当a=12时，若P），Q）是

题文

已知函数f（x）=x²+2ax（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=12时，若P（x₁，f（x₁）），Q（x₂f（x₂））（0＜x₁＜x₂）是函数图象上的两点，且存在实数x₀＞0，使得f′（x₀）=f(x2)-f(x1)x2-x1．证明：x₁＜x₀＜x₂． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=2x-2ax2=2x3-2ax2                                        …（1分）
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增；                        …（3分）
②当a＞0时，当0＜x＜3a时，f′（x）＜0，函数在（0，3a）上单调递减；
当x＞3a时，f′（x）＞0，函数在[3a，+∞）上单调递增．…（5分）
综上可知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，递增区间为（0，∞）；
当a＞0时，函数f（x）单调递减区间为（0，3a）；单调递增区间为[3a，+∞）．…（6分）
（2）当a=12时，f（x）=x²+1x（x＞0），此时f′（x）=2x-1x2，…（7分）
f(x2)-f(x1)x2-x1=(x22+1x2)-(x12+1x1)x2-x1=(x2-x1)[(x2+x1)-1x1x2]x2-x1=（x₂+x₁）-1x1x2，
从而原等式为2x₀-1x02=（x₂+x₁）-1x1x2．…（8分）
由题意可得x₀是方程2x-1x2-（x₂+x₁）+1x1x2=0的根，…（9分）
令g（x）=2x-1x2-（x₂+x₁）+1x1x2，
g（x₁）=2x₁-1x12+1x1x2-x₁-x₂=（x₁-x₂）-x2-x1x12x2=（x₁-x₂）（1+1x12x2）＜0，…（11分）
g（x₂）=2x₂-1x22+1x1x2-x₁-x₂=（x₂-x₁）-x1-x2x22x1=（x₂-x₁）（1+1x1x22）＞0，…（12分）
g（x₁）•g（x₂）＜0，由零点的存在性定理，可知：
∴x₁＜x₀＜x₂．…（14分）

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解析

2ax2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+2ax（x＞0）.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．