设f=|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b．求方程f=1的解；若a，b满足f(a)=f(b)=2f(a+b2)，求证：①a•b=1；②

题文

设f（x）=|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b满足f(a)=f(b)=2f(a+b2)，求证：①a•b=1；②a+b2＞1．
（3）在（2）的条件下，求证：由关系式f(b)=2f(a+b2)所得到的关于b的方程h（b）=0，存在b₀∈（3，4），使h（b₀）=0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=1得，lgx=±1，
所以x=10，或x=110．…（3分）
（2）证明：结合函数图象，由f（a）=f（b），
知a∈（0，1），b∈（1，+∞），…（4分）
从而-lga=lgb，从而ab=-1．…（5分）
又a+b2=1b+b2，…（6分）
令ϕ(b)=1b+b(b∈(1，+∞)．…（7分）
任取1＜b₁＜b₂，
∵∅（b₁）-∅（b₂）=（b₁-b₂）（1-1b1b2）＜0，
∴∅（b₁）＜∅（b₂），
∴∅（b）在（1，+∞）上为增函数．
∴∅（b）＞∅（1）=2．…（9分）
所以a+b2＞1．…（10分）
（3）由b=（a+b2）²，
得4b=a²+b²+2ab，…（11分）
1b2+b2+2-4b=0，
令g（b）=1b2+b2+2-4b，…（12分）
因为g（3）＜0，g（4）＞0，根据零点存在性定理知，…（13分）
函数g（b）在（3，4）内一定存在零点，
即方程1b2+b2+2-4b=0存在3＜b＜4的根．…（14分）

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解析

110

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=|lgx|，a，b为实数，且.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．