设函数f(x)=x2+bx+c，(x＜0)-x+3，(x≥0)，若f=f，f=-1，求函数f的解析式；画出函数f的

题文

设函数f(x)=x2+bx+c，(x＜0)-x+3，(x≥0)，若f（-4）=f（0），f（-2）=-1，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并说出函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）=-1，求相应x的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（-4）=f（0），f（-2）=-1，
∴16-4b+c=3  ①，
4-2b+c=-1   ②，联立①②，解得：b=4，c=3
∴f(x)=x2+4x+3，x＜0-x+3，x≥0．
（2）在坐标系中画出函数图象：



由图象可知单调区间为：（-∞，-2]，（-2，0]，（0，+∞），
其中增区间为（-2，0]，减区间为（-∞，-2]、（0，+∞）；
（3）当x≥0时，-x+3=-1，解得x=4，
当x＜0时，x²+4x+3=-1，解得x=-2，
故x=4或-2．

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解析

x2+4x+3，x＜0-x+3，x≥0

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x2+bx+c，(x＜0.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．