定义域为R的函数f对任意x∈R都有f=f，且其导函数f′满足f′＞0，则当2＜a＜4时，有A．f＜f

题文

定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），且其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（ ）A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）C．f(2)＜f(log2a)＜f(2a)D．f(log2a)＜f(2a)＜f(2) 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），
∴函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2
∵导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，（-∞，2）上单调递减
∵2＜a＜4
∴4＜2^a＜16
∵函数f（x）的对称轴为x=2
∴f（log₂a）=f（4-log₂a）
∵2＜a＜4，∴1＜log₂a＜2
∴2＜4-log₂a＜3
∴2＜4-log₂a＜2^a
∴f（2）＜f（4-log₂a）＜f（2^a），
∴f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a），
故选C

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．