通过研究函数f=2x4-10x2+2x-1在实数范围内的零点个数，进一步研究可得g=2xn+10x2-2x-1在实数范围内的零点个

题文

通过研究函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在实数范围内的零点个数，进一步研究可得g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）在实数范围内的零点个数为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0时，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+12x-5x²+32x-1，
=12（4x³-10x+1）-5x²+32x-1=-5x²+32x-1，
由于判别式△＜0，所以，f（x）的所有极值均是负数．
又因为当x趋向于负无穷和正无穷时均为无穷大，
所以，零点有两个．
对任意g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）
也有，g'（x）=0时有，
g（x）=（20n-10）x²+（2-2n）x-1
可知n＞3时，其判别式△＜0
所以，当n为偶数时，有两个零点
n为奇数时，有3个零点，
故答案为2，n为偶数时3，n为奇数时．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“通过研究函数f（x）=2x4-10x2+.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．