设m∈{1，2，3，4}，n∈{-12，-8，-4，-2}，则函数f=x3+mx+n在区间[1，2]上有零点的概率是A．12B．916C．1116

题文

设m∈{1，2，3，4}，n∈{-12，-8，-4，-2}，则函数f（x）=x³+mx+n在区间[1，2]上有零点的概率是（ ）A．12B．916C．1116D．1316 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据题意，f′（x）=3x²+m，又由m＞0，则f′（x）=3x²+m＞0；
故f（x）=x³+mx+n在R上单调递增，
则若函数f（x）=x³+mx+n在区间[1，2]上有零点，
只需满足条件f(1)≤0f(2)≥0，
从而解得m+n≤-1且2m+n≥-8，
∴-2m-8≤n≤-m-1，
当m=1时，n取-2，-4，-8；
m=2时，n取-4，-8，-12；
m=3时，n取-4，-8，-12；
m=4时，n取-8，-12； 
共11种取法，
而m有4种选法，n有4种选法，则函数f（x）=x³+mx+n情况有4×4=16种，
故函数f（x）=x³+mx+n在区间[1，2]上有零点的概率是1116；
故选C．

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解析

f(1)≤0f(2)≥0

考点

据考高分专家说，试题“设m∈{1，2，3，4}，n∈{-12，.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．