已知函数f=ax2-bx+1．若f＞0的解集是，求实数a，b的值；若a为整数，b=a+2，且函数f在上恰

题文

已知函数f（x）=ax²-bx+1．
（1）若f（x）＞0的解集是（-3，4），求实数a，b的值；
（2）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若不等式ax²-bx+1＞0的解集是（-3，4），
则方程ax²-bx+1=0的两根是x₁=-3，x₂=4，
所以1a=x1x2=-12，ba=x1+x2=1，
所以a=-112，b=-112．
（2）因为b=a+2，
所以f（x）=ax²-（a+2）x+1，△=（a+2）²-4a=a²+4＞0恒成立，
所以f（x）=ax²-bx+1必有两个零点，
又因为函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，
所以f（-2）f（-1）＜0即（6a+5）（2a+3）＜0，
解得     -32＜a＜-56，
又a∈Z，
∴a=-1

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解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2-bx+1．（1.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．