已知函数h=x2，φ=2elnx．判断函数F=h-φ的零点个数并证明你的结论；证明：当x＞0

题文

已知函数h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．
（1）判断函数F（x）=h（x）-φ（x）的零点个数并证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2ex-e的上方． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数F（x）只有一个零点．
证明：∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F'（x）=2x-2ex=2(x-e)(x+e)x．
当x=e时，F'（x）=0．
∵当0＜x＜e时，F'（x）＜0，此时函数F（x）递减；
当x＞e时，F'（x）＞0，此时函数F（x）递增；
∴当x=e时，F（x）取极小值，其极小值为0．
所以函数F（x）只有一个零点．
（2）证明：令G（x）=φ（x）-2ex+e=2elnx-2ex+e，
则G'（x）=2ex-2e=2e(e-x)x，当x=e时，G'（x）=0．
∵当0＜x＜e时，G'（x）＞0，此时函数G（x）递增；
当x＞e时，G'（x）＜0，此时函数G（x）递减；
∴当x=e时，G（x）取极大值，其极大值为0．
从而G（x）=2elnx-2ex+e≤0，
即ϕ（x）≤2ex-e（x＞0）恒成立，
所以当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2ex-e的上方．

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解析

2ex

考点

据考高分专家说，试题“已知函数h（x）=x2，φ（x）=2el.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．