已知函数f=ex-k-x，．当k=0时，若函数g(x)=1f(x)+m的定义域是R，求实数m的取值范围；试判断当k＞1时，函数f（x

题文

已知函数f（x）=e^x-k-x，（x∈R）．
（1）当k=0时，若函数g(x)=1f(x)+m的定义域是R，求实数m的取值范围；
（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当k=0时，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1
∴f（x）在（-∞，0）上单调减，在[0，+∞）上单调增．
∴f（x）_min=f（0）=1，（5分）∵∀x∈R，f（x）≥1⇔f（x）-1≥0成立，∴m＞-1（17分）
（2）当k＞1时，f′（x）=e^x-k-1＞0，在（k，2k）上恒成立．（9分）
∴f（x）在（k，2k）上单调增．（且连续）
且f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，（10分）
f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k∵f′（2k）=e^k-2＞0，f（x）在k＞1时单调增，
∴f（2k）＞e-2＞0（13分）
∴由零点存在定理知，函数f（x）在（k，2k）内存在零点．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex-k-x，（x∈R.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．