已知函数f=•ex．若函数f存在零点，求实数m的取值范围；当m＜0时，求函数f的单调区间；并确定此时f

题文

已知函数f（x）=（x²-mx+m）•e^x（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间；并确定此时f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设f（x）有零点，即函数g（x）=x²-mx+m有零点，
所以m²-4m≥0，解得m≥4或m≤0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x-m）•e^x+（x²-mx+m）•e^x=x（x-m+2）e^x，
令f'（x）=0，得x=0或x=m-2，
因为m＜0时，所以m-2＜0，
当x∈（-∞，m-2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（m-2，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时，f（x）存在最小值．f（x）的极小值为f（0）=m＜0．
根据f（x）的单调性，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，
解f（x）=0，得f（x）的零点为x1=m-m2-4m2和x2=m+m2-4m2，
结合f（x）=（x²-mx+m）•e^x，
可得在区间（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0
因为m＜0，所以x₁＜0＜x₂，
并且x1-(m-2)=m-m2-4m2-m+2=-m+4-m2-4m2＞-m+4-m2-4m+42
=-m+4-|m-2|2=-m+4-(2-m)2=1＞0，
即x₁＞m-2，
综上，在区间（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，m＜0，
所以，当m＜0时f（x）存在最小值，最小值为m．

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解析

m-m2-4m2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x2-mx+m）•e.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．