已知函数f=-a2x2+ax+lnx．我们称使f=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f只有一个零点；若函数f

题文

已知函数f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：∵f′(x)=-(2x+1)(x-1)x(x＞0)f（x）在（0，1）为增函数，
在（1，+∞）上为减函数．∴f（x）的最大值为f（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点．（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=-2a2x2-ax-1x=-(2ax+1)(ax-1)x
①当a=0时，不成立．
②当a＞0时，f'（x）＜0，得x＞1a，∴1a≤1，a≥1．
③当a＜0时，f'（x）＜0，得x＞-12a，∴-12a≤1，a≤-12
综上得：a∈(-∞，-12]∪[1，+∞)（12分）

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解析

(2x+1)(x-1)x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-a2x2+ax+ln.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．