若a＞1，设函数f=ax+x-4的零点为m，g=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围A．(72，+∞)B．C．（

题文

若a＞1，设函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，g（x）=log_ax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围（ ）A．(72，+∞)B．（1，+∞）C．（4，+∞）D．(92，+∞) 题型：未知 难度：其他题型

答案

函数f（x）=a^x+x-4的零点是函数y=a^x与函数y=4-x图象交点A的横坐标，
函数g（x）=log_ax+x-4的零点是函数y=log_ax与函数y=4-x图象交点B的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图象关于直线y=x对称，
直线y=4-x与直线y=x垂直，
故直线y=4-x与直线y=x的交点（2，2）即是A，B的中点，
∴m+n=4，
∴1m+1n=14(m+n)(1m+1n)=14(2+mn+nm)≥1，
当m=n=1等号成立，
而m+n=4，
故1m+1n＞1，
故所求的取值范围是（1，+∞）．
故选B．

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解析

1m

考点

据考高分专家说，试题“若a＞1，设函数f（x）=ax+x-4的.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．