已知函数f=x-lnx(x＞12)x2+2x+a-1(x≤12)求函数f的单调递增区间；求函数f的零点．

题文

已知函数f（x）=x-lnx(x＞12)x2+2x+a-1(x≤12)
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）的零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）当x＞12时，f′（x）=1-1x=x-1x
由f′（x）＞0得x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
当x≤12时，f（x）=x²+2x+a-1=（x+1）²+a-2，
∴f（x）在(-1，12)上是增函数
∴f（x）的递增区间是（-1，12）和（1，+∞）．
（2）当x＞12时，由（1）知f（x）在（12，1）上递减，在（1，+∞）上递增且f′（1）=0．
∴f（x）有极小值f（1）=1＞0，
此时f（x）无零点．当x≤12时，f（x）=x²+2x+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a．
当△＜0，即a＞2时，f（x）无零点．
当△=0，即a=2时，f（x）有一个零点-1．
当△＞0，且f（12）≥0时，
即8-4a＞014+1+a-1≥0∴-14≤a＜2时f（x）有两个零点：
x=-2+8-4a2或x=-2-8-4a2，即x=-1+2-a或x=-1-2-a
当△＞0且f（12）＜0，即8-4a＞014+1+a-1＜0∴a＜-14时，f（x）仅有一个零点-1-2-a

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x-lnx(x＞12).....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．