已知函数f=2x2+4mx+2m-1当m取何值时，函数的图象与x轴有两个零点；如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m的值．

题文

已知函数f（x）=2（m+1）x²+4mx+2m-1
（1）当m取何值时，函数的图象与x轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）的图象与x轴有两个零点，即方程2（m+1）x²+4mx+2m-1=0有两个不相等的实根，
∴△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞02(m+1)≠0得m＜1且m≠-1
∴当m＜1且m≠-1时，函数f（x）的图象与x轴有两个零点．
（2）m=-1时，则f（x）=-4x-3
从而由-4x-3=0得x=-34＜0
∴函数的零点不在原点的右侧，
故m≠-1
当m≠-1时，有两种情况：
①原点的两侧各有一个，则△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0x1x2=2m-12(m+1)＜0
解得-1＜m＜12
②都在原点的右侧，则△=16m2-8(m+1)(2m-1)≥0x1+x2=-4m2(m+1)＞0x1x2=2m-12(m+1)＞0 解得m∈∅
综①②可得m∈(-1，12)．

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解析

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞02(m+1)≠0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2（m+1）x2+4m.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．