题文
已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B(12,5)、C(1,0),函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为______. 题型:未知 难度:其他题型答案
由题意可得,f(x)=10x,(0≤x≤12)10-10x,(12≤x≤1),∴y=xf(x)=10x2,(0≤x≤12)-10x2+10x,(12≤x≤1) ,
设函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为S,
则S=∫12010x2dx+∫112(-10x2+10x)dx
=10×x33|120+(-10)×x33|112+10×x22|112
=512-3512+5-54
=1512
=54.
故答案为:54.
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解析
10x,(0≤x≤12)10-10x,(12≤x≤1)考点
据考高分专家说,试题“已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理
函数零点存在性定理:
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)
(3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则fx)在(a,b)上有唯一的零点.
函数零点个数的判断方法:
(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x2-2x +1 =0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x2-2x +1在[0,2]上只有一个零点
②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.