设an是关于x的方程xn+nx-1=0）的根．试证明：an∈；an+1＜an；a12+a22+…+an2

题文

设a_n是关于x的方程xⁿ+nx-1=0（n∈N^*，x∈（0，+∞））的根．试证明：
（1）a_n∈（0，1）；
（2）a_n+1＜a_n；
（3）a₁²+a₂²+…+a_n²＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）设f（x）=xⁿ+nx-1，
∵f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
且函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续的，
∴f（x）在（0，1）上至少有一个零点，
即方程xⁿ+nx-1=0在（0，1）内至少有一个根．（3分）
∵x∈（0，+∞），
∴f′（x）=nx^n-1+n＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴方程xⁿ+nx-1=0在（0，+∞）内有唯一根，
且根在（0，1）内，即a_n∈（0，1）．（5分）
（2）方法一：∵f(1n)=(1n)n＞0，f(1n+1)=(1n+1)n+nn+1-1=(1n+1)n-1n+1≤0，
且函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续的，
∴f（x）在[1n+1，1n)内至少有一个零点，
即方程xⁿ+nx-1=0在[1n+1，1n)内至少有一个根．
又由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴方程xⁿ+nx-1=0在[1n+1，1n)内有唯一根，
∴1n+1≤an＜1n．（8分）
∴1n+2≤an+1＜1n+1，
∴a_n+1＜a_n．      （9分）
方法二：由（1）知，a_nⁿ+na_n-1=0，
a_n+1ⁿ⁺¹+（n+1）a_n+1-1=0，
两式相减得：a_n+1ⁿ⁺¹+（n+1）a_n+1-a_nⁿ-na_n=0，（7分）
若存在n∈N^*，使得a_n+1≥a_n，
则a_n+1≥a_n＞a_nⁿ，
从而a_n+1ⁿ⁺¹+（n+1）a_n+1-a_nⁿ-na_n＞（n+1）a_n+1-a_nⁿ-na_n=a_n+1-a_nⁿ+na_n+1-na_n＞0，矛盾．
所以a_n+1＜a_n．（9分）
（3）由题设得a1=12，a12=14＜1，
当n∈N^*时，an=1-annn＜1n．
∴a12+a22＜(12)2+(12)2=12＜1． （12分）
当n≥3时有a₁²+a₂²+a₃²+…+an2＜(12)2+(12)2+(13)2+…+(1n)2
＜14+14+12•3+13•4+…+1(n-1)n
=14+14+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1-1n)
=1-1n＜1．
综上a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．               （14分）

点击查看函数零点的判定定理知识点讲解,巩固学习

解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“设an是关于x的方程xn+nx-1=0（.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．