设函数f(x)=x33-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R若函数f在x=3处取得极小值是12，求a、b的值；求函数f的单调递增区

题文

设函数f(x)=x33-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是12，求a、b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在（-1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a（3分）
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0得 a=32（4分）
∵f(3)=12解得：b=-4（5分）
（II）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）
令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分）
当a＞1时，2a＞2，∴f′（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞）．（8分）
当a=1时，f′（x）=（x-2）²≥0，即f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．（9分）
当a＜1时，2a＜2，∴f′（x）＞0时，x＜2a或x＞2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2a）和（2，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由题意可得：a＜1f′(-1)•f′(1)＜0（12分）
∴（2a-1）（2a+1）＜0
∴-12＜a＜12
∴a的取值范围(-12，12)（14分）

点击查看函数零点的判定定理知识点讲解,巩固学习

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x33-(a+1)x2+.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．