设函数f=4sin-x，函数f在区间[k-12，k+12](k∈Z)上存在零点，则k最小值是______．

题文

设函数f（x）=4sin（πx）-x，函数f（x）在区间[k-12，  k+12](k∈Z)上存在零点，则k最小值是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=4sin（πx）-x，函数f（x）在区间[k-12，  k+12](k∈Z)上存在零点
∵f（k-12）=4sin（kπ-12π）-（k-12）=4coskπ-k+12，f（k+12）=4sin（kπ+12π）-（k+12）=4coskπ-(k+12)
由函数的零点判定定理可知，f（k-12）•f（k+12）≤0
当k为偶数时，可得（92-k）（72-k）≤0，解不等式可得72≤k≤92
当k奇数时，可得(k+72)(k+92)≤0，解不等式可得-92≤k≤-72
∵k∈Z
∴k的最小值为-4
故答案为：-4

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=4sin（πx）-x，函.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．