已知函数f(x)=2sinxcosx+23cos2x-3+2求函数f的对称轴方程；当x∈(0，π2)时，若函数g=f+m有零点，求

题文

已知函数f(x)=2sinxcosx+23cos2 x-3+2
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当x∈(0，π2)时，若函数g（x）=f（x）+m有零点，求m的范围；
（3）若f(x0) =25，x0∈(π4，π2)，求sin（2x₀）的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=sin2x+3cos2x+2=2sin（2x+π3）+2（3分）
令2x+π3=π2+kπ可得：x=π12+kπ2，k∈Z，
∴对称轴方程为：x=π12+kπ2，k∈Z，．（4分）
（2）∵x∈(0，π2)   2x+π3∈(π3，4π3)
∴sin(2x+π3)∈(-32，1]
∴2sin(2x+π3)+2∈(-3+2，4]（7分）
∵函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解．（8分）
即-m∈(-3+2，4]，m∈[-4，3-2)．（9分）
（3）f(x0)=25即2sin（2x0+π3)+2=25+2=25即sin（2x0+π3)=-45=-45（10分）
∵x0∈(π4，π2)
∴2x0+π3∈(5π6，4π3)
又∵sin(2x0+π3)=-45，
∴2x0+π3∈(π，4π3)（11分）
∴cos(2x0+π3)=-35（12分）
∴sin2x0=sin[(2x0+π3)-π3]（13分）
=sin(2x0+π3)cosπ3-cos(2x0+π3)sinπ3
=(-45)×12-(-35)×32
=33- 410（15分）

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解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2sinxcosx+2.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．