已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞0)．若曲线y=f在点P）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f的单调区间；

题文

已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞0)．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f′(x)=-2x2+ax，所以，f′(1)=-212+a1=-1，所以，a=1．
所以，f(x)=2x+lnx-2，f′(x)=x-2x2． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ）  f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2，由f'（x）＞0解得 x＞2a； 由f'（x）＜0解得 0＜x＜2a．
所以，f（x）在区间(2a，+∞)上单调递增，在区间(0，2a)上单调递减．
所以，当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以，f(2a)＞2(a-1)即可． 则22a+aln2a-2＞2(a-1)． 由aln2a＞a解得 0＜a＜2e．
所以，a的取值范围是  (0，2e)．
（Ⅲ） 依题得 g(x)=2x+lnx+x-2-b，则 g′(x)=x2+x-2x2．
由g'（x）＞0解得  x＞1；   由g'（x）＜0解得  0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，所以g(e-1)≥0g(e)≥0g(1)＜0，
解得 1＜b≤2e+e-1．   所以，b的取值范围是(1，2e+e-1]．

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解析

2x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x+alnx-2(a.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．