已知函数f(x)=2-x(x≤0)-x2+2ax+1(x＞0)，则下列结论正确的是A．∃a∈R，f有最大值fB．∃a∈R，f

题文

已知函数f(x)=2-x(x≤0)-x2+2ax+1(x＞0)（a∈R），则下列结论正确的是（ ）A．∃a∈R，f（x）有最大值f（a）B．∃a∈R，f（x）有最小值f（0）C．∀a∈R，f（x）有唯一零点D．∀a∈R，f（x）有极大值和极小值 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据指数函数及二次函数的性质，我们可得：
函数f(x)=2-x(x≤0)-x2+2ax+1(x＞0)（a∈R），即为最大值，也无最小值，故A，B均错误；
函数的图象也X轴有且只有一个交点，故C∀a∈R，f（x）有唯一零点，正确；
当a＞0时，f（x）有极大值f（a）和极小值f（0），当a≤0时，f（x）没有极大值和极小值，故D错误；
故选C

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解析

2-x(x≤0)-x2+2ax+1(x＞0)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2-x(x≤0)-x2.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．