已知函数f(x)= m 1-x2，x∈(-1，1]1-|x-2|，x∈(1，3]，且满足f（x+

题文

已知函数f(x)= m 1-x2，x∈(-1，1]1-|x-2|，x∈(1，3]（m＞1），且满足f（x+4）=f（x）．若函数F（x）=f（x）-x恰好有3个零点，则实数m的取值范围为（ ） A．(4，2 7)B．( 15，3 7)C．（4，8）D．[ 15，8] 题型：未知 难度：其他题型

答案

B

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解析

当x∈（1，3]时，F（x）=1-|x-2|-x，
当x∈（1，2]时，F（x）=1-|x-2|-x=-1，
当x∈（2，3]时，F（x）=1-|x-2|-x=-2x+3
在（2，3]之间有一个零点，
当x∈（-1，1]时，F（x）=m 1-x2-x
令y₁=m 1-x2，y₂=x，
这两个曲线要有两个交点在（-1；1]上，
根据椭圆与直线的位置关系可以得到 y12m2+x2=1的横轴上方的图象与y=x有两个交点，
∴根据根与系数的关系可以得到m∈( 15，3 7)
故选B．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)= .....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．