设函数y=f满足对任意的实数t，都有f=-f，f=f成立，则下面关于函数y=f的说法：①图象关于点

题文

设函数y=f（x）满足对任意的实数t，都有f（1+t）=-f（1-t），f（t-2）=f（2-t）成立，则下面关于函数y=f（x）的说法：①图象关于点（1，0）对称；②图象关于y轴对称；③以2为周期；④f（2009）=0．其中正确的有______（将你认为正确说法前面的序号都填上）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①f（1+t）=-f（1-t）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于（1，0）点对称；①正确．
②由f（t-2）=f（2-t）⇒f（x）=f（-x），则函数y=f（x）是偶函数，它的图象关于y轴对称，故②正确．
③若f（1+t）=-f（1-t），且f（1-t）=f（t-1）恒成立，⇒f（1+t）=-f（t-1）⇒f（t+2）=-f（t），从而f（t+4）=-f（t+2）=f（t），则函数y=f（x）以4为周期．③错误．
④∵函数y=f（x）以4为周期，∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1），
在f（1+t）=-f（1-t）中令t=0得f（1）=-f（1），∴f（1）=0，
∴f（2009）=0．④正确．
故答案为：①②④．．

点击查看函数零点的判定定理知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）满足对任意的实数t，都.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．