已知函数f=ax3-32x2+1(x∈R)，其中a＞0．若a=1，求曲线y=f在点）处的切线方程；若函数f有三个零点

题文

已知函数f（x）=ax3-32x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x3-32x2+1，f(2)=3；
得到f′（x）=3x²-3x，
则f′（2）=6，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-3=6（x-2），即y=6x-9；
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=1a，
因a＞0，则0＜1a．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如表：
X（-∞，0）0(0，1a)1a(1a，+∞)F’（x）+0-0+f（x）递增极大值递减极小值递增又f（0）=1，f(1a)=1-12a2，
若要f（x）有三个零点，只需f(1a)=1-12a2＜0即可，
解得a2＜12，又a＞0．
因此0＜a＜22．
故所求a的取值范围为{a|0＜a＜22}．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3-32x2+1(.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．