已知角α的顶点与直角坐标系原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈[0，π）设点M的坐标是(12，32)，求使得函数f(a)=OM•M

题文

已知角α的顶点与直角坐标系原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈[0，π）设点M的坐标是(12，32)，求使得函数f(a)=OM•MP-k的恰有两个零点的实数k的取值范围______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f（α）=（cosα，sinα）•(cosα-12，sinα-32)-k=cosα(cosα-12)+sinα(sinα-32)-k=-12cosα-32sinα+1-k=-sin(α+π6)+1-k．
化为sin(α+π6)=1-k，
∵α∈[0，π），∴(α+π6)∈[π6，7π6)，∴sin(α+7π6)∈(-12，1]，
要使得函数f(a)=OM•MP-k的恰有两个零点，则0＜k＜12．
故答案为0＜k＜12．

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知角α的顶点与直角坐标系原点O重合，始.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．