已知函数y=1+bxax+1(a＞0，x≠-1a)的图象关于直线y=x对称．求实数b的值；设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量e1=AB，e2

题文

已知函数y=1+bxax+1(a＞0，x≠-1a)的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数b的值；
（2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量e1=AB，e2=(1，0)，试证明对于函数图象所在的平面里任一向量c，都存在唯一的实数λ₁、λ₂，使得c=λ1e1+λ2e2成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数y=1+bxax+1(a＞0，x≠-1a)的图象关于直线y=x对称，
∴当点(x0，y0)(x0≠-1a)在函数的图象上时，点(y0，x0)(y0≠-1a)也在函数的图象上，即y0=1+bx0ax0+1x0=1+by0ay0+1，化简，得（a+ab）x₀²+（1-b²）x₀-1-b=0．
此关于x₀的方程对x0≠-1a的实数均成立，即方程的根多于2个，
∴a+ab=01-b2=0-1-b=0，解之，得b=-1．
（2）由（1）知，y=1-xax+1(a＞0，x≠-1a)，又点A、B是该函数图象上不同两点，则它们的横坐标必不相同，于是，可设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
所以e1=AB，e2=(1，0)都是非零向量．
又y1-y2=1-x1ax1+1-1-x2ax2+1=(1+a)(x2-x1)(1+ax1)(1+ax2)(x1≠x2，a＞0)
∴y₁≠y₂，
∴e1=AB=(x2-x1，y2-y1)与e2=(1，0)不平行，
即e1与e2为函数图象所在坐标平面上所有向量的一组基．
根据平面向量的分解定理，可知，函数图象所在的平面上任一向量c，都存在唯一实数λ₁、λ₂，使得c=λ1e1+λ2e2成立．

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解析

1+bxax+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=1+bxax+1(a＞0，x.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．