已知函数f=2x+alnx-2．若曲线y=f在点P）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f的单调区间；

题文

已知函数f（x）=2x+alnx-2（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f^′（x）=-2x2+ax，∴f^′（1）=-2+a，
∵直线y=x+2的斜率为1，∴-2+a=-1，解得a=1，
所以f（x）=2x+lnx-2，∴f^′（x）=-2x2+1x=x-2x2，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（II）依题得g（x）=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=-2x2+1x+1=x2+x-2x2．
由g^′（x）＞0解得x＞1；由g^′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[1e，e]上有两个零点，∴g(1e)≥0g(e)≥0g(1)＜0，
解得1＜b≤2e+e-1，∴b的取值范围是（1，2e+e-1]．

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解析

2x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+alnx-2（a.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．