已知函数f(x)=ln(1+x)+ax，a∈R是常数．讨论f的单调性；求a=-12时，f零点的个数；③求证：(1+122)(1+124)

题文

已知函数f(x)=ln(1+x)+ax，a∈R是常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求a=-12时，f（x）零点的个数；
③求证：(1+122)(1+124)•…•(1+122n)＜e（n∈N^*，e为自然对数的底数）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′(x)=11+x+a2x=ax+2x+a2x(1+x)，
若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增；若a≤-1，
则f′（x）＜0，f（x）在定义域内单调递减；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，x1=2-a2-21-a2a2，x2=2-a2+21-a2a2，
直接讨论f′（x）知，f（x）在[0，2-a2-21-a2a2)
和(2-a2+21-a2a2，+∞)单调递减，
在[2-a2-21-a2a2，2-a2+21-a2a2]单调递增．
（2）观察得f（0）=0，a=-12时，
由①得f（x）在[0，7-43)单调递减，
所以f（x）在[0，7-43)上有且只有一个零点；
f(x1)=f(7-43)＜f(0)=0，
计算得f(x2)=f(7+43)=ln(8+43)-12(2+3)＞lne2-2=0，
f（x₁）f（x₂）＜0且f（x）在区间[7-43，7+43]单调递增，
所以f（x）在[7-43，7+43]上有且只有一个零点；
根据对数函数与幂函数单调性比较知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x₂）f（M）＜0
且f（x）在区(7+43，+∞)单调递减，
所以f（x）在(7+43，7M)上
从而在(7+43，+∞)上有且只有一个零点．
综上所述，a=-12时，f（x）有3个零点．
（3）取a=-1，f(x)=ln(1+x)-x，
由①得f（x）单调递减，
所以∀x＞0，f（x）＜f（0）=0，ln(1+x)＜x，
从而ln（1+122）（1+124）…（1+122n）
=ln（1+122）ln（1+124）+…（1+122n）
＜12+122+…+12n=1-12n＜1，
由lnx单调递增得(1+122)(1+124)••(1+122n)＜e．

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解析

11+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ln(1+x)+ax，.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．