已知函数f=x3-3ax+2有极大值18．求a的值；若曲线y=f过原点的切线与函数g=b-lnx的图象有两个交点，

题文

已知函数f（x）=x³-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=b-lnx的图象有两个交点，试求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，又函数f（x）有极大值，
∴令f′（x）＞0，得x＜-a或x＞a，
∴f（x）在（-∞，-a），（a，+∞）上递增，在（-a，a）上递减，
∴f（x）_极大值=f（-a）=18，解得a=4．
（Ⅱ）设切点（x₀，x03-12x0+2），则切线斜率k=f′（x₀）=3x02-12，
所以切线方程为y-x03+12x0-2=（3x02-12）（x-x₀），
将原点坐标代入得x₀=1，所以k=-9．
切线方程为y=-9x．
由y=-9xy=b-lnx得lnx-9x-b=0．
设h（x）=lnx-9x-b，
则令h′（x）=1x-9=1-9xx＞0，得0＜x＜19，
所以h（x）在（0，19）上递增，在（19，+∞）上递减，
所以h（x）_最大值=h（19）=-ln9-1-b．
若lnx-9x-b=0有两个解，则h（x）_最大值＞0，
得b＜-ln9-1．

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解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-3ax+2（其中.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．