设函数f=x-ln，其中m为实常数．当m为何值时，f≥0；证明：当m＞1时，函数f在[e-m-m，e2m-m]内有两个零

题文

设函数f（x）=x-ln（x+m），其中m为实常数．
（Ⅰ）当m为何值时，f（x）≥0；
（Ⅱ）证明：当m＞1时，函数f（x）在[e^-m-m，e^2m-m]内有两个零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞），
∴f′(x)=1-1x+m=x-(1-m)x+m，令f'（x）=0，得x=1-m．------------（2分）
当x∈（-m，1-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，f（x）＞f（1-m）
当x∈（1-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，f（x）＞f（1-m）---（4分）
根据函数极值判别方法，f（1-m）=1-m为极小值，
而且对x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m．
故当m≤1时，f（x）≥0．---------------（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当m＞1时，f（1-m）=1-m＜0，
函数f（x）=x-ln（x+m），在[e^-m-m，1-m]上为减函数．
f（e^-m-m）=e^-m-m-ln（e^-m-m+m）=e^-m＞0
所以当m＞1时，f（e^-m-m）与f（1-m）异号．
由函数零点判定定理知，函数f（x）在区间（e^-m-m，1-m）内有唯一零点．----------（9分）
而当m＞1时，f（e^2m-m）=e^2m-3m．
令g（x）=e^2x-3x（x＞1），则g′（x）=2e^2x-3（x＞1）＞2e²-3＞0，
那么函数g（x）在区间（1，+∞）上递增．于是g（x）＞g（1）=e²-3＞0，从而f（e^2m-m）=e^2m-3m＞0．--（11分）
所以，当整数m＞1时，函数f（x）=x-ln（x+m）在[1-m，e^2m-m]上为增函数且f（1-m）与f（e^2m-m）异号，
所以函数f（x）在区间[1-m，e^2m-m]内也有唯一零点．
综上，当m＞1时，函数f（x）在区间[e^-m-m，e^2m-m]内有两个零点．------------（14分）

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解析

1x+m

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x-ln（x+m），其中.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．