已知函数f=ax-a-x为奇函数，且为增函数，则函数y=ax+k的图象为A．B．C．D．

题文

已知函数f（x）=（k-1）a^x-a^-x（a＞0，a≠1）为奇函数，且为增函数，则函数y=a^x+k的图象为（ ）A．

B．

C．

D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=（k-1）a^x-a^-x（a＞0，a≠1）为奇函数，
∴f（0）=（k-1）×a⁰-a⁰=0，解之得k=2
因此．函数f（x）表达式为：f（x）=a^x-a^-x
又∵函数f（x）=a^x-a^-x是R上的增函数，
∴f'（x）=（lna）a^x-（ln1a）a^-x=（lna）（a^x+a^-x）＞0在R上恒成立
∵a^x+a^-x恒为正数，∴lna＞0，可得a＞1
由此可得函数y=a^x+k，即y=a^x+2，
图象过定点（0，3）呈增函数的趋势，且y＞2恒成立
由此对照各选项，可得只有A项符合题意
故选：A

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解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（k-1）ax-a-x.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．